Question

【題目】數學老師布置了這樣一個問題：如果α，β都為銳角，且tanα＝，tanβ＝.求α＋β的度數．甲、乙兩位同學想利用正方形網格構圖來解決問題．他們分別設計了圖1和圖2.

(1)請你分別利用圖1，圖2求出α＋β的度數，并說明理由；

(2)請參考以上思考問題的方法，選擇一種方法解決下面問題：

如果α，β都為銳角，當tanα＝5，tanβ＝時，在圖3的正方形網格中，利用已作出的銳角α，畫出∠MON，使得∠MON＝α－β.求出α－β的度數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）45°.

【解析】

（1）①如圖1中，只要證明△AMC≌△CNB，即可證明△ACB是等腰直角三角形．②如圖2中，只要證明△CEB∽△BEA，即可證明∠BED=α+β=45°．（2）如圖3中，∠MOE=α，∠NOH=β，∠MON=α-β，只要證明△MFN≌△NHO即可解決問題．

解：(1)①如圖1中，只要證明△AMC≌△CNB，即可證明△ACB是等腰直角三角形，∠BAC＝α＋β＝45°.

證明：如圖1中，在△AMC和△CNB中，

∴△AMC≌△CNB，
∴AC=BC，∠ACM=∠CBN，
∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴α+β=45°．

②如圖2中，只要證明△CEB∽△BEA，即可證明∠BED＝α＋β＝45°.

證明：，設正方形邊長為1，則CE=1，AE=2，BE=

∴＝＝， ＝

∴＝，

∵∠CEB=∠AEB
∴△CEB∽△BEA，
∴∠CAB=∠CBE=α，
∵∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β，
∵DE=DB，∠D=90°，
∠BED=45°，
∴α+β=45°．

(2)如圖3中，補充圖形如下，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β，只要證明△MFN≌△NHO即可解決問題．∠MON＝α－β＝45°.

證明：圖3中，∠MOE=α，∠NOH=β，∠MON=α-β．
在△MFN和△NHO中，

∴△MFN≌△NHO，
∴MN=NO，∠MNF=∠NOH，
∵∠NOH+∠ONH=90°，
∴∠ONH+∠MNF=90°，
∴∠MNO=90°，
∴∠NOM=∠NMO=45°，
∴α-β=45°．