Question

19．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，m）在邊AB上，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限內的圖象經過點D、E，且cos∠BOA=$\frac{4}{5}$．
（1）求邊AB的長；
（2）求反比例函數的解析式和m的值；
（3）若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，點G、H分別是y軸、x軸上的點，當△OGH≌△FGH時，求線段OG的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質可求得OA，由三角函數定義可求得OB，則可求得AB的長；
（2）由條件可求得D點坐標，代入反比例函數解析式，可求得其解析式，把E點坐標代入解析式可求得m的值；
（3）由反比例函數解析式可求得F點坐標，則可求得CF的長，設OG=x，利用三角形全等的性質可表示出CG和FG，在Rt△CGF中利用勾股定理可得到方程，可求得OG的長．

解答 解：
（1）∵點E（4，m）在邊AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，
∵cos∠BOA=$\frac{4}{5}$，
∴OB=5，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}-O{A}^{2}}$=3；
（2）由（1），可得點B的坐標為（4，3），
∵點D為OB的中點，
∴點D（2，1.5）．
∵點D在反比例函數$y=\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，
∴k=3，
∴反比例函數解析式為$y=\frac{3}{x}$，
又∵點E（4，n）在反比例函數圖象上，
∴$m=\frac{3}{4}$；
（3）設點F（a，3），
∵反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，
∴a=1，
∴CF=1，
設OG=x，
∵△OGH≌△FGH，
∴OG=FG=x，CG=3-x，
在Rt△CGF中，
由勾股定理可得GF²=CF²+CG²，
即x²=（3-x）²+1²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴OG=$\frac{4}{3}$．

點評 本題為反比例函數的綜合應用，涉及待定系數法、勾股定理、三角函數的定義、矩形的性質、全等三角形的性質及方程思想．在（1）中利用三角函數的定義求得OB的長是解題的關鍵，在（2）中利用矩形的性質求得D點坐標是解題的關鍵，在（3）中用OG的長分別表示出CG和FG是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．