Question

7．已知關于x的一元二次方程x²-（m+1）x+$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長．
（1）求矩形兩鄰邊的長（用有關m的代數式表示）；
（2）當矩形的對角線長為$\sqrt{10}$時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出△，再代入公式求出即可；
（2）根據勾股定理得出關于m的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）x²-（m+1）x+$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0，
x=$\frac{（m+1）±\sqrt{4}}{2}$，
x₁=$\frac{m+3}{2}$，x₂=$\frac{m-1}{2}$，
即矩形兩鄰邊的長為$\frac{m+3}{2}$和$\frac{m-1}{2}$；

（2）∵矩形的對角線長為$\sqrt{10}$，
∴（$\frac{m+3}{2}$）²+（$\frac{m-1}{2}$）²=（$\sqrt{10}$）²，
解得：m=-5或3，
當m=-5時，$\frac{m+3}{2}$=-1，邊長不能為負數，不符合題意舍去，
所以m=3．

點評 本題考查了矩形的性質，勾股定理，根與系數的關系，根的判別式等知識點，能求出兩邊長是解此題的關鍵．