Question

將編號為1，2，…，18的18名乒乓球運動員分配在9張球臺上進行單打比賽，規定每張球臺上兩選手編號之和均為大于4的平方數．請問這一規定能否實現？若規定不能實現，請給出證明；若規定能夠實現，請說明實現方案是否唯一．

Answer 1

分析：首先由編號最大的兩數之和為35，求得：同一張球臺上兩選手編號之和只能取三個平方數是25，16，9；然后設同一張球臺上兩選手編號和為25、16、9的分別有x個、y個、z個，根據題意列方程，又由x、y、z均為非負整數，即可求得符合條件的x，y，z的值，則可求得答案．

解答：解：∵編號最大的兩數之和為：18+17=35＜36，
∴同一張球臺上兩選手編號之和只能取三個平方數：25，16，9．
現設同一張球臺上兩選手編號和為25、16、9的分別有x個、y個、z個（x、y、z均為非負整數），
依題意有25x+16y+9z=1+2+…+18，x+y+z=9，x≥0，y≥0，z≥0，
即16x+7y+9（x+y+z）=171，x+y+z=9，x≥0，y≥0，z≥0，
得16x+7y=90，x≥0，y≥0，z≥0．
又由0≤x≤

90

16

＜6知，x只能取非負整數0，1，2，3，4，5．
逐一代入檢驗，可得方程唯一的非負整數解x=3，y=6，z=0．
下面討論9張球臺上的選手對陣情況．
（1）由x=3，知平方數為25只能有3個，而編號不小于16的3個選手18，17，16對應的平方數又只能為25，
故“兩選手編號和為25”的只能是：18與7對陣，17與8對陣，16與9對陣．
（2）由y=6，知去掉18，17，16，9，8，7后剩下的12個選手對應的平方數能且只能為16，有：1與15對陣，2與14對陣，3與13對陣，4與12對陣，5與11對陣，6與10對陣．
故規定能夠實現，且實現方案是唯一的．9張球臺上選手對陣情況為：
（18，7），（17，8），（16，9），（15，1），（14，2），（13，3），（12，4），（11，5），（10，6）．

點評：此題考查了整數問題的綜合應用．解題的關鍵是能根據題意列的方程，然后利用分類討論思想求解．