Question

25、將編號為1，2，3，4，5的五個小球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中，每個盒子只放入一個，
①一共有多少種不同的放法？
②若編號為1的球恰好放在了1號盒子中，共有多少種不同的放法？
③若至少有一個球放入了同號的盒子中（即對號放入），共有多少種不同的放法？

Answer 1

分析：①先放入，有5種不同的的方法，再放第二個球，這時以4種不同的放法，依此類推，可以求出不同的放法，
②一個小球固定1號盒，其余的四個球隨意放，它們依次有4、3、2、1種不同的放法，于是可以求出不同的放法，
③解法一：在這120種放法中，排除掉全部不對號的放法，剩下的就是至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數，解法二：從五個球中選定一個球，有5種選法，將它放入同號的盒子中（如將1號球放入1號盒子），其余的四個球隨意放，有24種放法，這樣共有5×24=120種放法，然后去掉重復的放法的種數就是至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數．

解答：解：①將第一個球先放入，有5種不同的的方法，再放第二個球，這時以4種不同的放法，依此類推，放入第三、四、五個球，分別有3、2、1種放法，所以總共有5×4×3×2×1=120種不同的放法．
②將1號球放在1號盒子中，其余的四個球隨意放，它們依次有4、3、2、1種不同的放法，這樣共有4×3×2×1=24種不同的放法．
③（解法一）
在這120種放法中，排除掉全部不對號的放法，剩下的就是至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數．
為研究全部不對號的放法種數的計算法，設A₁為只有一個球放入一個盒子，且不對號的放法種數，顯然A₁=0，A₂為只有二個球放入二個盒子，且不對號的放法種數，∴A₂=1，A₃為只有三個球放入三個盒子，且都不對號的放法種數，A₃=2，，A_n為有n個球放入n個盒子，且都不對號的放法種數．
下面我們研究A_n+1的計算方法，考慮它與A_n及A_n-1的關系，
如果現在有n個球已經按全部不對號的方法放好，種數為A_n．取其中的任意一種，將第n+1個球和第n+1個盒子拿來，將前面n個盒子中的任一盒子（如第m個盒子）中的球（肯定不是編號為m的球）放入第n+1個盒子，將第n+1個球放入剛才空出來的盒子，這樣的放法都是合理的．共有nA_n種不同的放法．
但是，在剛才的操作中，忽略了編號為m的球放入第n+1個盒子中的情況，即還有這樣一種情況，編號為m的球放入第n+1個盒子中，且編號為n+1的球放入第m個盒子中，其余的n-1個球也都不對號．于是又有了nA_n-1種情況是合理的．
綜上所述得A_n+1=nA_n+nA_n-1=n（A_n+A_n-1）．
由A₁=0，A₂=1，得A₃=2（1+0）=2，A₄=3（2+1）=9，A₅=4（9+2）=44．
所以至少有一個球放入了同號的盒子中的放法種數為全部放法的種數減去五個球都不對號的放法種數，即120-44=76種．
（解法二）
從五個球中選定一個球，有5種選法，將它放入同號的盒子中（如將1號球放入1號盒子），其余的四個球隨意放，有24種放法，這樣共有5×24=120種放法．
但這些放法中有許多種放法是重復的，如將兩個球放入同號的盒子中（例如1號球和2號球分別放入1號盒子、2號盒子中）的放法就計算了兩次，這樣從總數中應減去兩個球放入同號的盒子中的情況，得120-C₅²P₃³=120-60（種）．
很明顯，這樣的計算中，又使得將三個球放入同號的盒子中（例如1號球、2號球和3號球分別放入1號盒子、2號盒子和3號盒子中）的放法少計算了一次，于是前面的式子中又要加入C₅³P₂²=20種，
再計算四個球、五個球放入同號盒子的情況，于是再減去四個球放入同號盒子中的情況C₅⁴P₁¹，最后加上五個球放入同號中的情況C₅⁵．
整個式子為120-C₅²P₃³+C₅³P₂²-C₅⁴P₁¹+C₅⁵=120-60+20-5+1=76（種）．

點評：本題主要考查計數方法的知識點，解答本題的關鍵是掌握計數原理，特別是第三問的解法不止一種，請同學們熟練掌握．