Question

如果方程（x-1）（x²-2x+

k

4

）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據原方程可得出：①x-1=0，②x²-2x+

k

4

=0；根據根與系數的關系，可求出②方程的x₁+x₂和x₁-x₂的表達式，然后根據三角形三邊關系定理求出k的取值范圍．

解答：解：由題意，得：x-1=0，x²-2x+

k

4

=0；
設x²-2x+

k

4

=0的兩根分別是m、n（m≥n）；則m+n=2，mn=

k

4

；
m-n=

(m+n)2-4mn

=

4-k

；
根據三角形三邊關系定理，得：
m-n＜1＜m+n，即

4-k

＜1＜2；
∴

4-k ＜1 4-k≥0

，解得3＜k≤4．

點評：此題主要考查的是一元二次方程根與系數的關系以及三角形三邊關系定理．