Question

已知關于x的方程a²x²+（2a-1）x+1=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂．（1）求a的取值范圍；（2）是否存在實數a，使方程的兩個實數根互為相反數如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．
解：（1）根據題意，得△=（2a-1）²-4a²＞0，解得a＜

1

4

．
∴當a＜

1

4

時，方程有兩個不相等的實數根．
（2）存在，如果方程的兩個實數根x₁，x₂互為相反數，則x₁+x₂=-

2a-1

a

=0  ①，
解得a=

1

2

，經檢驗，a=

1

2

是方程①的根．
∴當a=

1

2

時，方程的兩個實數根x₁與x₂互為相反數．
上述解答過程是否有錯誤？如果有，請指出錯誤之處，并解答．

Answer 1

分析：（1）根據題意，應滿足兩個條件：△＞0，二次項系數不等于0，顯然此解答漏掉了一個條件；
（2）利用根與系數的關系求得字母的值后，還要注意檢驗原方程是否有實數根．

解答：解：上述解答有錯誤．
（1）若方程有兩個不相等實數根，則方程首先滿足是一元二次方程，
∴a²≠0且滿足△=（2a-1）²-4a²＞0，
∴a＜

1

4

且a≠0；

（2）不存在這樣的a．
∵方程的兩個實數根x₁，x₂互為相反數，
則x₁+x₂=-

2a-1

a2

=0，
解得a=

1

2

，
經檢驗a=

1

2

是方程的根．
∵（1）中求得方程有兩個不相等實數根，
a的取值范圍是a＜

1

4

且a≠0，
而a=

1

2

＞

1

4

（不符合題意）．
所以不存在這樣的a值，使方程的兩個實數根互為相反數．

點評：注意：只要是一元二次方程或說方程有兩個實數根，則二次項系數不得為0；凡是利用根與系數的關系求得未知字母的值時，一定要注意代入原方程，看是否有實數根．