Question

在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．
（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．
（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據正弦函數的定義得出EQ=BE，在△AEH中，根據余弦函數的定義得出EH=AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值．
解答：（1）證明：如圖1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，
∴∠CAD=∠B=90°-∠ACB．
∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，
∵點E為AB的中點，∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD與△BEF中，
，
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；

（2）解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四邊形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sin∠B==，
∴EQ=BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH==，
∴EH=AE．
∵點E為AB的中點，∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．