Question

已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分線的交點O在AB上，M、N分別在直線AC、BC上，∠MON=∠A=45°
（1）如圖1，若點M、N分別在邊AC、BC上，求證：CN+MN=AM；
（2）如圖2，若點M在邊AC上，點N在BC邊的延長線上，試猜想CN、MN、AM之間的數量關系，請寫出你的結論（不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）連接CO，在線段AM上截取AQ=CN，連接OQ，由O為CA、CB的垂直平分線的交點，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，得到OA=OB=OC，又AC=BC得到∠A=∠B=45°，再根據三線合一的性質得到CO與AB垂直且CO為頂角的平分線，由∠A和∠B求出∠ACB為直角，得到∠OCB也為45°，利用SAS得到三角形AOQ與三角形CON全等，根據全等三角形的對應邊相等，對應角相等得到OQ=ON，∠AOQ=∠CON，等量代換得到∠QON為直角，又∠MON為45°，所以∠QOM也為45°，得兩角相等，然后由OQ=ON，求出的兩角相等，OM為公共邊，利用SAS得到三角形OQM與三角形MON全等，根據全等三角形的對應邊相等得到QM=MN，由AM=AQ+QM，等量代換即可得證；
（2）在CA的延長線上截取AQ=CN，同（1）利用兩次全等即可得到QM=MN，由QM=AQ+AM，等量代換得證．

解答：
解：（1）連接OC，在AM上截取AQ=CN，連接OQ，
∵O為CA、CB的垂直平分線的交點，∴OC=OA=OB，
∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，
∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，
在△AOQ和△CON中，
AQ=CN，∠A=∠OCN，OA=OC，
∴△AOQ≌△CON，
∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，
∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，
又∠MON=45°，∴∠QOM=45°，
在△QOM和△NOM中，
OQ=ON，∠MON=∠QOM，OM=OM，
∴△QOM≌△NOM，
∴QM=NM，
則AM=AQ+QM=CN+MN；
（2）MN=AM+CN．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，線段的和、差、倍、分問題通常情況下先在較長的線段上截取一段與其中一條線段相等，然后構造全等三角形證明剩下的線段與另一條線段相等，本題的突破點是截取出AQ=CN，構造全等三角形，證明QM=NM．