Question

在△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，將一塊足夠大的直角三角尺PMN（∠M=90°、∠MPN=30°）按如圖所示放置，頂點(diǎn)P在線段AB上滑動，三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點(diǎn)C，并且與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)PN∥BC時(shí)，∠ACP=

90

度；
（2）當(dāng)α=15°時(shí)，求∠ADN的度數(shù)；
（3）在點(diǎn)P的滑動過程中，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若不可以，請說明理由；若可以，請求出夾角α的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠BCP，即可得出答案．
（2）求出∠ACP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠PDC，即可得出答案；
（3）分為三種情況：當(dāng)PC=PD時(shí)，當(dāng)PD=CD時(shí)，當(dāng)PC=CD時(shí)，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出關(guān)于α的方程，求出即可．

解答：解：（1）∵PN∥BC，∠MPN=30°，
∴∠BCP=∠MPN=30°，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACP=∠ACB-∠BCP=90°，
故答案為：90．

（2）∵∠ACB=120°，∠PCB=15°，
∴∠PCD=∠ACB-∠PCB=105°，
∴∠PDC=180°-∠PCD-∠MPN=180°-105°-30°=45°，
∴∠ADN=∠PDC=45°．

（3）△PCD的形狀可以是等腰三角形，
∠PCA=120°-α，∠CPD=30°，
①當(dāng)PC=PD時(shí)，△PCD是等腰三角形，
∠PCD=

1

2

（180°-∠MPN）=

1

2

（180°-30°）=75°，
即120°-α=75°，
解得：α=45°；
②當(dāng)PD=CD時(shí)，△PCD是等腰三角形，
∠PCD=∠CPD=30°，
即120°-α=30°，
解得：α=90°；
③當(dāng)PC=CD時(shí)，△PCD是等腰三角形，
∠PCD=180°-2×30°=120°，
即120°-α=120°，
解得：α=0°，
此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D和A重合．
綜合上述：當(dāng)α=45°或90°或0°時(shí)，△PCD是等腰三角形，
即α的大小是45°或90°或0°．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形性質(zhì)和判定平行線性質(zhì)的應(yīng)用，注意要進(jìn)行分類討論．