Question

【題目】在中，，．

（1）如圖1，若，，求的面積．

（2）如圖2，若為線段上任意一點(diǎn)，探究，，三者之間的關(guān)系，并證明．

（3）如圖3，若，為內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)，可得，即可求解．

（2）將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)C，點(diǎn)D對應(yīng)點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可得，即，即可得證．

（3）將△BDC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△，連接，連接交BC于點(diǎn)E，通過等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得當(dāng)時，有最小值，根據(jù)勾股定理求解即可．

（1）∵，

∴

∵，

∴．

（2）

將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)C，點(diǎn)D對應(yīng)點(diǎn)

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

∴

∴在Rt△中，

∵在Rt△中，

∴

∴

即．

（3）將△BDC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△，連接，連接交BC于點(diǎn)E

∵

∴為等邊三角形

∴

∵

∴

∴的最小值為的最小值

故當(dāng)時，有最小值

∵

∴△ABC是等腰直角三角形

∵

∴

即，

即

∴的最小值為．