Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點A（4，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，點E是第一象限的拋物線上的一個動點．當△ACE面積最大時，請求出點E的坐標；

（3）如圖2，在拋物線上是否存在一點P，使∠CAP＝45°？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2．（2）當x＝2時，S△ACE取得最大值4．（3）（﹣，﹣）

【解析】

（1）由題意可得點A（4，0），C（0，2），用待定系數法求解即可得到答案．（2）過點E作EF∥y軸交AC于點F，用待定系數法得到直線AC的解析式為y＝﹣x+2，設點E（x，﹣x2+x+2），則F（x，﹣x+2），則EF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，所以由S△ACE＝S△CEF+S△AEF得到二次函數，根據二次函數的頂點即可解答．（3）如圖2中，將線段AC繞點A逆時針旋轉90°得到AC′，則C′（2，4），取CC′的中點H（1，1），作直線AH交拋物線于P，此時∠PAC＝45°，求出直線AH的解析式，構建方程組即可解決問題．

解：（1）將點A（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：

，

解得：，

∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+2．

（2）如圖1，過點E作EF∥y軸交AC于點F，

設直線AC的解析式為y＝kx+2，

∴4k+2＝0，

∴k＝﹣，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x+2，

設點E（x，﹣x2+x+2），則F（x，﹣x+2），

則EF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，

∴S△ACE＝S△CEF+S△AEF＝EFOA＝（﹣x2+2x）×4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∵﹣1＜0，

∴當x＝2時，S△ACE取得最大值4．

（3）如圖2中，將線段AC繞點A逆時針旋轉90°得到AC′，則C′（2，﹣4），取CC′的中點H（1，﹣1），作直線AH交拋物線于P，此時∠PAC＝45°，

∵A（4，0），H（1，﹣1），

∴直線AH的解析式為y＝x﹣，

由，解得或，

∴P（， ）．

作直線AP′⊥PA，則直線AP′的解析式為y＝﹣3x+12，

由，解得或（不合題意舍棄），

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（﹣，﹣）