Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，點P在BC上，將△ABP沿AP折疊，點B恰好落在對角線AC上的E點．O為AC上一點，⊙O經過點A，P．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）在邊CB上截取CF＝CE，點F是線段BC的黃金分割點嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點F是線段BC的黃金分割點，理由見解析

【解析】

（1）因為是折疊，可得∠BAP=∠OAP，進而推導出AB∥OP，從而證垂直而得到切線；

（2）在Rt△ABC中，得出AC的長，在根據幾何關系，可分別求出CF、BF的長度，得其比值為黃金比例

（1）證明：如圖，連接OP，則OA=OP

∴∠OAP=∠OPA．

由折疊知∠BAP=∠OAP，∴∠OPA=∠BAP． ∴AB∥OP．

又∵AB⊥BC，∴OP⊥BC．

∴BC是⊙O的切線．

（2）點F是線段BC的黃金分割點，理由如下：

在矩形ABCD中，∵AB=CD＝2，BC=AD＝4，

∴AC=

又∵AE=AB＝2，∴CE=CF＝2－2．

∴BF=BC－CF=6－2

∵CF2=（2－2）2=24－8 ，

BFBC=4（6－2）=24－8 ，

∴CF2=BFBC．

∴點F是線段BC的黃金分割點．