Question

如圖，在等腰梯形OABC中，OC=2，AB=6，∠AOC=120°，以O為圓心OC為半徑的⊙O交OA于點D，動點P以每秒1個單位的速度從點A沿AO向點O運動，過點P作PE∥AB交BC于點E．設P點運動的時間為t（秒）．
（1）求OA的長；
（2）當t為何值時，PE與⊙O相切；
（3）直接寫出線段PE與⊙O有兩個公共點時t的范圍．

Answer 1

分析：（1）過點O作OF⊥AB與點F，結合題意，可得出OA的長；
（2）當PE與⊙O相切時，可知切點恰好是F′點，即PF′=2，即可得出OP的長，從而得出AP，即可得出t的值；
（3）有兩個公共點，即處于相交的狀態上，結合（2），易得出t的取值范圍；當PE與⊙O相切時，四邊形PECO與⊙O重疊部分面積恰好為扇形OCD的面積，半徑已知，角度已知，即可得出重疊部分的面積．

解答：解：（1）由等腰梯形OABC，OC=2，AB=6，∠AOC=120°，
過O作梯形的高，得出AO=4；

（2）當PE與⊙O相切時，O到PE的距離為2，
得出OP=

4 3

3

，AP=4-

4 3

3

，
所以，當t=4-

4 3

3

秒時⊙O與PE相切；

（3）4-

4 3

3

＜t≤4，
當PE與⊙O相切時，四邊形PECO與⊙O重疊部分面積，
即扇形OCD的面積=

4π

3

．

點評：本題主要考查了等腰梯形的性質和切線的性質，題目不是太難，注意梯形作輔助線的方法有五種：作兩高、連對角線、作對角線的平行線、作腰的平行線、延長兩腰．