Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD，已知AB=6，BC=2

2

，∠DAB=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系，將等腰梯形ABCD繞A點按順時針方向旋轉90°得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分別是A、B、C、D旋轉后的對應點）（如圖）．
（1）在直線DC上是否存在一點P，使△EFP為等腰三角形，若存在，寫出P點的坐標，若不存在，請說明理由；
（2）將等腰梯形ABCD沿x軸的正半軸平行移動，設移動后的OA=x（0＜x≤6），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）易得D（-2，2），△EFP為等腰三角形，應分情況進行探討．EP=FP時，作出EF的垂直平分線，易得點P的坐標和D坐標重合為（-2，2），EP=EF時，與直線CD無交點，舍去這種情況，EF=FP時，可得P坐標為CD與y軸的交點為（0，2）；
（2）易得F（2，4），G（2，2），作出等腰梯形的兩條高，得到等腰梯形是上底為2，高為2．當移動距離為0-2時，重合部分是三角形，底邊為x，高為0.5x，易得面積；移動距離為2-4時，重合部分是四邊形，可讓梯形面積減去直角三角形面積；移動距離為4-6時，重合部分是三角形，易求得高與底邊．

解答：解：（1）①EP=FP時，易求出D（-2，2），E（0，6），F（2，4），
由勾股定理得：DE²=（0+2）²+（6-2）²=20，DF²=（2+2）²+（4-2）²=20，
∴DE=DF，
即D在EF的垂直平分線上，
即作出EF的垂直平分線，易得點P的坐標和D坐標重合為（-2，2），
②EP=EF時，與直線CD無交點，舍去這種情況；
EF=FP時，可得P坐標為CD與y軸的交點為（0，2）
∴P（-2，2），P（0，2）；（1分）

（2）①當0＜x≤2時，重合部分是一小等腰直角三角形，底邊長為x，高為0.5x，
∴y=

1

4

x²．（2分）
②當2≤x≤4時；重合部分是四邊形，所在的梯形的上底為x-2，下底為x，高為2，三角形的底邊為x，高為0.5x．
∴y=-

1

4

x²+2x-2．（2分）
③當4≤x≤6時；重合部分是梯形．
∴y=-

1

2

x²+4x-6．（2分）

點評：使△DFP為等腰三角形，應利用尺規作圖得到相應的在直線CD上的點；運動過程中的面積應注意不同時期的不同狀態，注意利用容易算出的面積表示．