Question

如圖，在等腰梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=60°BC=2，OA=4，且與x軸重合．
（1）直接寫出點A、B、C的坐標；
（2）求經過點O、A、B的拋物線解析式，并判斷點C是否在拋物線上；
（3）在拋物線的OCB段，是否存在一點P（不與O、B重合），使得四邊形OABP的面積最大？若存在，求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）A點坐標可根據OA的長獲得；過B作BM⊥OA于M，利用等腰梯形的對稱性可求得AM的長，已知∠COA=∠BAO=60°，即可求得BM的長，從而得到B、C的坐標．
（2）已知了拋物線圖象上的三點坐標，可利用待定系數法求得該拋物線的解析式，然后將點C的坐標代入拋物線中進行驗證即可．
（3）連接OB，易求得直線OB的解析式；過P作直線PD⊥x軸，交OB于D，設出點P的橫坐標，根據拋物線和直線OB的解析式，可表示出P、D的縱坐標，即可得到PD的長；由于四邊形OPBA中，△ABO的面積是定值，所以當四邊形OPBA的面積最大時，△OBP的面積最大，此時PD的值最大，可根據得到的關于PD和P點橫坐標的函數關系式，求得PD的最大值及對應的P點坐標．

解答：解：（1）過B作BM⊥OA于M，則AM=1；
在Rt△BMA中，AM=1，∠BAM=∠COA=60°，
∴BM=

3

AM=

3

，OM=4-AM=3；
∴B（3，

3

），
同理得C（1，

3

）；
故：A（4，0），B(3，

3

)，C(1，

3

)．

（2）依題意設y=ax（x-4），又B(3，

3

)在該函數圖象上，
∴-3a=

3

，
解得：a=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x2+

4 3

3

x；
當x=1時，y=

3

，
故點C(1，

3

)在該函數圖象上．

（3）如圖，
連接OB，在拋物線上取點P，過P作PD⊥x軸，交OB于D，連接OP、BP；
則過OB的直線的解析式為y=

3

3

x，
∵S_△OAB為定值，
∴使S_△OPB最大，則四邊形OPBA的面積最大；
∵PD=yP-yD=-

3

3

x2+

4 3

3

x-

3

3

x=-

3

3

x2+

3

x=-

3

3

(x-

3

2

)2+

3 3

4

，
∴當x=

3

2

時，PD最大，
將x=

3

2

代入y=-

3

3

x2+

4 3

3

x中，
得y=

5 3

4

；
此時P點的坐標為P(

3

2

，

5 3

4

)．

點評：此題主要考查了等腰梯形的性質、直角三角形的性質、二次函數解析式的確定、函數圖象上點的坐標意義以及圖形面積的求法等重要知識；類似于（3）題求面積最大（�。┲祮栴}，通常轉化為二次函數的最值問題來解．