Question

16．如圖，二次函數y=x²-4x+3與坐標軸交于A、B、C三點，C點關于對稱軸的對稱點為D點，點P在拋物線上，且∠PDB=45°，求P點坐標．

Answer 1

分析 連結CD、BC，BC交PD于Q，作QH⊥x軸于H，如圖，通過解方程x²-4x+3=0得到A（1，0），B（3，0），則拋物線的對稱軸為直線x=2，再確定C（0，3）D（4，3），利用兩點間的距離公式計算出BD=$\sqrt{10}$，接著判定△OBC為等腰直角三角形得到BC=3$\sqrt{2}$，∠OCB=∠OBC=45°，然后證明△BDQ∽△BCD，利用相似比求出BQ=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，則在等腰直角三角形BHQ中，QH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ=$\frac{5}{3}$，所以AH=OB-BH=$\frac{4}{3}$，于是得到Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），接下來利用待定系數法求出直線DP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，最后通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+3}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得P點坐標．

解答 解：連結CD、BC，BC交PD于Q，作QH⊥x軸于H，如圖，
當y=0時，x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，則A（1，0），B（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
當x=0時，y=x²-4x+3=3，則C（0，3），
∵C點關于對稱軸的對稱點為D點，
∴D（4，3），
∴BD=$\sqrt{（4-3）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵OB=OC=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴BC=3$\sqrt{2}$，∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BCD=45°，
∵∠PDB=45°，
∴∠BCD=∠BDQ，
而∠QBD=∠DBC，
∴△BDQ∽△BCD，
∴BQ：BD=BD：BC，即BQ：$\sqrt{10}$=$\sqrt{10}$：3$\sqrt{2}$，解得BQ=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
在等腰直角三角形BHQ中，QH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ=$\frac{5}{3}$，
∴AH=OB-BH=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），
設直線DP的解析式為y=kx+b，
把D（4，3），Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{\frac{4}{3}k+b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線DP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+3}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴P點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了相似三角形的判定與性質．