Question

已知如圖，D是⊙O的直徑AB延長線上一點，DC切⊙O于C，過D作ED⊥AD與AC的延長線相交于E．
（1）求證：CD=DE；
（2）若tan∠BAC=

1

3

，求

CE

AC

的值；
（3）設AB=2R，當BC=CE時，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）欲求CD=DE，需先求出∠DCE=∠E；由弦切角定理知∠DCB=∠A；可發現：∠DCE和∠E是上面證得的兩個等角的余角，故∠DCE=∠E，由此得證．
（2）設出BC=x，ED=y；根據tan∠BAC=

1

3

，得出AD=3x，AC=3y，根據勾股定理和切割線定理即可求出x和y之間的關系．
（3）連接OC，由（1）得出的∠BCD=∠A，易知：∠OBC=∠CDE，因此等腰△OBC和等腰△DCE相似；由于題中告訴了BC=CE，可得到的條件是△OBC≌△DCE；因此OC=CD=R；在等腰Rt△OCD中，已知了直角邊的長，即可求出斜邊OD的長，進而可求出BD的長．

解答：（1）證明：∵△ADE是直角三角形，
∴∠E=90°-∠A；
又∵∠BCD=∠A，∠BCE=90°，
∴∠DCE=90°-∠A，
∴∠E=∠DCE，即CD=DE．

（2）解：設BC=y，ED=x；根據tan∠BAC=

1

3

，得出AD=3x，AC=3y；
Rt△ABC中，根據勾股定理，得：AB=

(3y)2+y2

=

10

y；
又因為CD=DE，所以根據切割線定理，x²=BD•3x，BD=

x

3

，AB=3x-

x

3

=

8

3

x；
所以

10

y=

8

3

x，

x

y

=

3 10

8

．
又因為

CE

AC

=

10 x-3y

3y

=

10

3

x

y

-1=

10

3

×

3 10

8

-1=

1

4

．

（3）解：連接OC；
由（1）知：∠BCD=∠A，∠ACB=∠BCE=90°；
∴∠OBC=∠DCE；
∵OB=OC，CD=DE；
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠E；
在△OBC和△DCE中

∠OBC=∠DCE BC=CE ∠OCB=∠E

∴△OBC≌△DCE（ASA）；
∴OC=CD=R；
Rt△OCD中，OC=CD=R，∠OCD=90°；
∴OD=

2

R，即BD=OD-OB=（

2

-1）R．

點評：此題巧妙利用了勾股定理、切割線弦定及三角函數值，將各個量結合起來，找到它們之間的關系，尤其是（2），借助參數求代數式的比，應用了設而不求的方法．