Question

已知如圖：AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°，給出以下四個結論：（1）∠EBC=22.5°（2）BD=DC；（3）

EC

AE

=

2

-1；（4）AE=2DE．其中錯誤結論的個數是（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的性質以及同弧所對的圓周角相等可求得∠EBC的度數；
（2）連接AD，由于AB=AC，∠ADB=90°，利用等腰三角形三線合一定理可知BD=CD；
（3）在等腰三角形ABC中，AB=AC；在等腰直角三角形ABE中，AB=

2

AE，所以EC=

2

AE-AE=（

2

-1）AE，從而求得

EC

AE

的值；
（4）根據圓周角、弧、弦間的關系解答．

解答：解：連接AD．
（1）∵AB是直徑，
∴AD⊥BC；
又∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠EAD=

1

2

∠BAC=22.5°；
而∠EBC=∠EAD（同弧所對的圓周角相等），
∴∠EBC=22.5°，
故本選項正確；

（2）∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
故本選項正確；

（3）在等腰直角三角形ABE中，AB=

2

AE，
∴EC=

2

AE-AE=（

2

-1）AE，
∴

EC

AE

=

2

-1；
故本選項正確；

（4）∵∠ADE=∠ABE=45°（同弧所對的圓周角相等），∠DAE=∠DBE=22.5°（由（1）知），
∴∠ADE=2∠DAE，
∴

AE

=2

DE

，
故本選項錯誤．
綜上所述，其中錯誤的結論有1個．
故選B．

點評：本題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質、等腰三角形三線合一定理，解題的關鍵是求出相應角的度數．