Question

2．如圖①，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（4，5），二次函數y=x²的圖象記為拋物線l₁．

（1）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過A，B兩點，記為拋物線l₂，如圖②，求拋物線l₂的函數表達式；
（2）請在圖②上用尺規作圖的方式探究拋物線l₂上是否存在點P，使△ABP為等腰三角形？若存在，請判斷點P共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）并在圖中畫出P點，以P₁、P₂、P₃、表示不同的點；若不存在，請說明理由．
（3）設拋物線l₂的頂點為C，K為拋物線l₂一點．若S_△ABK=S_△ABC，求點K的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據等腰三角形的定義：P₁A=P₁B，P₂A=P₂B，P₃B=AB，P₅B=P₂B，P₄A=P₂A，可得答案；
（3）根據平行線的間距離相等，可得AB的平行線CK₁，K₂K₃，根據解方程組，可得自變量，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=x²=bx+c．將點A、B的坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=2}\\{16+4b+c=5}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$．
拋物線的解析式為y=x²-4x+5．
（2）如圖1：，
P₁A=P₁B，P₂A=P₂B，P₃B=AB，P₅B=P₂B，P₄A=P₂A； 
（3）如圖2：，
y=x²-4x+5=（x-2）²+1，頂點C的坐標為（2，1）．
AB的解析式為y=x+1，設過C點平行于AB的直線為y=x+b，
將C（2，1）代入函數解析式，得
2+b=1，解得b=-1，
過C點平行于AB的直線為y=x-1，
聯立CK₁與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y={x}^{2}-4x+5}\end{array}\right.$，
消元化簡，得
x²-5x+6=0，解得x=2（不符合題意，舍），x=3，
當x=3時，y=x-1=2，即K₁（3，2）；
設平行于AB且到AB的距離等于CK₁到AB的距離K₂K₃，
AB向下平移兩個單位得CK₁，AB向上平移兩個單位得K₂K₃
K₂K₃的解析式為y=x+1+2，即y=x+3，
聯立K₂K₃與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}-4x+5}\end{array}\right.$，
消元化簡，得
x²-5x+2=0，解得x=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，x=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，
當x=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$時，y=x+3=$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$，即K₂（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$）；
當x=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$時，y=x+3=$\frac{11-\sqrt{17}}{2}$，即K₂（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$）；
綜上所述：若S_△ABK=S_△ABC，點K的坐標K₁（3，2），K₂（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$），K₂（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用等腰三角形的定義得出P₁A=P₁B，P₂A=P₂B，P₃B=AB，P₅B=P₂B，P₄A=P₂A是解題關鍵；利用平行線的間距離相等得出AB的平行線CK₁，K₂K₃是解題關鍵．