Question

已知，在平行四邊形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，動點P從O點出發沿射線OA方向以每秒2個單位的速度移動，同時動點Q從A點出發沿射線AB方向以每秒1個單位的速度移動．設移動的時間為t秒．
（1）求直線AC的解析式；
（2）試求出當t為何值時，△OAC與△PAQ相似？
（3）若⊙P的半徑為

8

5

，⊙Q的半徑為

3

2

；當⊙P與對角線AC相切時，判斷⊙Q與直線AC、BC的位置關系，并求出Q點坐標．

Answer 1

分析：（1）過C點作x軸的垂線，垂足為D點，由已知條件利用勾股定理求AC，利用面積法求CD，利用勾股定理求OD，確定C點坐標，從而求直線AC的解析式；
（2）根據P點是否在線段OA上分類：當0≤t≤2.5時，和當t＞2.5時，判斷相似是否成立，利用相似比求符合條件的t的值；
（3）可判斷⊙Q與直線AC、BC均相切．當⊙P的半徑為

8

5

時，利用相似比求PA，得出OP的長和P點運動時間，Q點運動時間與P點相同，可判斷QA的長是否等于⊙Q的半徑，并求出Q點坐標．

解答：解：（1）過C點作x軸的垂線，垂足為D點，在平行四邊形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面積法，得CD×OA=OC×AC，解得CD=

4×3

5

=

12

5

，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=

OC2-CD2

=

16

5

，
∴C（

16

5

，

12

5

），
又∵A（5，0），
∴直線AC解析式為：y=-

4

3

x+

20

3

；

（2）當0≤t≤2.5時，P在OA上，若∠OAQ=90°時，
故此時△OAC與△PAQ不可能相似．
當t＞2.5時，
①若∠APQ=90°，則△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

2t-5

t

=

4

5

，
∴t=

25

6

，
∵t＞2.5，
∴t=

25

6

符合條件．
②若∠AQP=90°，則△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

t

2t-5

=

4

5

，
∴t=

20

3

，
∵t＞2.5，
∴t=

20

3

符合條件．
綜上可知，當t=

25

6

或

20

3

時，△OAC與△APQ相似．

（3）⊙Q與直線AC、BC均相切．
如圖，設⊙P與AC相切于點M，則PM∥OC，
∴

PM

OC

=

PA

OA

，即

8

5

×5=PA×4，
解得PA=2，OP=5-2=3，
P點運動時間為3÷2=

3

2

秒，
故Q點運動時間為

3

2

秒，此時AQ=

3

2

，
BQ=4-

3

2

=

5

2

，
過Q點作QN⊥BC，垂足為N，則△BQN∽△BCA，

QN

QB

=

AC

BC

，即

QN

5 2

=

3

5

，
解得QN=

3

2

，
則AQ=QN，
∵AC⊥AB，
∴⊙Q與直線AC、BC均相切．
此時，Q點坐標為（

31

5

，

9

10

）．

點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是利用勾股定理，面積法，相似三角形的性質解題．