Question

已知，在平行四邊形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，動點P從O點出發沿射線OA方向以每秒2個單位的速度移動，同時動點Q從A點出發沿射線AB方向以每秒1個單位的速度移動．設移動的時間為t秒．
（1）求直線AC的解析式；  
（2）試求出當t為何值時，△OAC與△PAQ相似．

Answer 1

分析：（1）要求直線AC的解析式，需要求出點A、點C的坐標，可以利用等積法求得C點的縱坐標，利用勾股定理求得橫坐標，利用兩點式求得直線的解析式；
（2）對于相似要分情況進行討論，根據對應線段成比例可求得t的數值．

解答：解：（1）過點C作CE⊥OA，垂足為E，
在Rt△OCA中，AC=

52-42

=3，
∴5×CE=3×4，
∴CE=

12

5

，
在Rt△OCE中，OE=

42-( 12 5 )2

=

16

5

，
∴C（

16

5

，

12

5

），A（5，0），
∴y=-

4

3

x+

20

3

；

（2）當0≤t≤2.5時，P在OA上，若∠OAQ=90°時，
故此時△OAC與△PAQ不可能相似．
當t＞2.5時，
①若∠APQ=90°，則△APQ∽△OCA，
故

AQ

AP

=

OA

OC

=

5

4

，
∴

t

2t-5

=

5

4

，
∴t=

25

6

，
∵t＞2.5，
∴t=

25

6

符合條件．
②若∠AQP=90°，則△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

t

2t-5

=

4

5

，
∴t=

20

3

，
∵t＞2.5，
∴t=

20

3

符合條件．
綜上可知，當t=

25

6

或

20

3

時，△OAC與△APQ相似．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質及直討論線與圓的位置關系；在解決圓的問題時要注意勾股定理的應用，要注意對問題進行分類討論．