Question

已知|y|≤1且2x+y=1，則2x²+16x+3y²的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由2x+y=1，|y|≤1，得到y=1-2x，-1≤1-2x≤1，解得0≤x≤1，設W=2x²+16x+3y²，用x表示W得到W=14x²+4x+3，先求出對稱軸為直線x=-

4

2×14

=-

1

7

，由于a=14＞0得到拋物線開口向上，在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，而0≤x≤1，所以當x=0時W最小，然后把x=0代入W進行計算即可．

解答：解：設W=2x²+16x+3y²，
∵2x+y=1，|y|≤1，
∴y=1-2x，-1≤y≤1，
∴-1≤1-2x≤1，
∴0≤x≤1，
∴W=2x²+16x+3（1-2x）²
=14x²+4x+3，
對稱軸為直線x=-

4

2×14

=-

1

7

，
∵a=14＞0，
∴拋物線開口向上，在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，
當0≤x≤1，x=0時，W最小，
即W的最小值=3．
故答案為3．

點評：本題考查了二次函數的最值問題：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，對稱軸為直線x=-

b

2a

，當a＞0，拋物線開口向上，y有最小值

4ac-b2

4a

，y隨x的增大而減小；當a＜0，拋物線開口向下，y有最大值

4ac-b2

4a

，y隨x的增大而增大．