Question

已知二次函數y=x²﹣2mx+m²+3（m是常數）．

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；

（2）把該函數的圖象沿y軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點？

Answer 1

（1）證明：∵△=（﹣2m）²﹣4×1×（m²+3）=4m²﹣4m²﹣12=﹣12＜0，

∴方程x²﹣2mx+m²+3=0沒有實數解，

即不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；

（2）解：y=x²﹣2mx+m²+3=（x﹣m）²+3，

把函數y=（x﹣m）²+3的圖象延y軸向下平移3個單位長度后，得到函數y=（x﹣m）²的圖象，它的 頂點坐標是（m，0），

因此，這個函數的圖象與x軸只有一個公共點，

所以，把函數y=x²﹣2mx+m²+3的圖象延y軸向下平移3個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點．