Question

如圖所示，AC平分∠DAB，AB＞AD，CB=CD，CE⊥AB于E，
（1）求證：AB=AD+2EB；
（2）若AD=9，AB=21，BC=10，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）延長線段AD，過C作CF垂直于AF，又CE垂直于AB，且AC為角平分線，根據角平分線定理得到CF=CE，又CD=CB，利用HL即可得到直角三角形FDC與直角三角形ECB全等，根據全等三角形的對應邊相等得到FD=EB，再由CF=CE，AC為公共邊，利用HL得到直角三角形ACF與直角三角形ACB全等，根據全等三角形的對應邊相等得到AF=AE，由AF=AD+DF，等量代換即可得證；
（2）由AD和AB的長，根據（1）證明的結論，求出EB的長，再由AE=AB-EB，求出AE的長，在Rt△CEB中，根據勾股定理得CE的 長，在直角三角形ACE中，求出AC的長．

解答：（1）證明：延長線段AD，過C作CF⊥AD交AD得延長線于F，
∵AC為∠DAE的平分線，CE⊥AB，CF⊥AF，
∴CE=CF，
在Rt△CFD和Rt△CEB中

CF=CE CD=CB

，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴FD=EB，
又在Rt△CFA和Rt△CEA中

CF=CE AC=AC

，
∴Rt△CFA≌Rt△CEA（HL），
∴AF=AE，
則AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+EB=AD+2EB；

（2）解：∵AD=9，AB=21，
由（1）得AB=AD+2EB，代入得9+2EB=21，
解得EB=6，
∴AE=AB-EB=21-6=15，
又∵BC=10，
在Rt△CEB中，根據勾股定理得：
CE=

BC2-BE2

=8，
在Rt△ACE中，根據勾股定理得：
AC=

AE2+CE2

=17．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線定理以及勾股定理，對條件的充分認識和對知識點的聯想可以找到添加輔助線的途徑，構造過程中要不斷的轉化問題或轉換思維的角度，會轉化，善于轉化，更能體現思維的靈活性．遇到角平分線常常過角平分線上的點作角兩邊的垂線，進而利用角平分線定理解決問題，作出輔助線是本題的突破點．