【題目】已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C。
（1）如圖①，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的長（結果保留根號）；
（2）如圖②，若D為AP的中點，求證：直線CD是⊙O的切線．
【答案】（1）
；（2）證明見解析
【解析】
（1）易證PA⊥AB，再通過解直角三角形求解；
（2）本題連接OC，證出OC⊥CD即可．首先連接AC，得出直角三角形ACP，根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得CD＝AD，再利用等腰三角形性質可證∠OCD＝∠OAD＝90°，從而解決問題．
解：（1）∵AB是⊙O的直徑，AP是切線，
∴∠BAP＝90°．
在Rt△PAB中，AB＝2，∠P＝30°，
∴BP＝2AB＝2×2＝4．
由勾股定理，得
．
（2）如圖，連接OC、AC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ACP＝180°﹣∠BCA＝90°，
在Rt△APC中，D為AP的中點，
∴
，
∴∠4＝∠3，
∵OC＝OA，
∴∠1＝∠2，
∵∠2+∠4＝∠PAB＝90°，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，
即OC⊥CD，
∴直線CD是⊙O的切線．
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【題目】已知
內接于⊙O.
(1)當點O與AB有怎樣的位置關系時，∠ACB是直角.
(2)在滿足(1)的條件下，過點C作直線交AB于D，當CD與AB有什么樣的關系時，△ABC∽△CBD∽△ACD.請畫出符合(1)、(2)題意的兩個圖形后再作答.
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【題目】定義：有一個角是其對角兩倍的圓的內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角
已知四邊形ABCD是圓美四邊形
求美角
的度數；
如圖1，若
的半徑為
，求BD的長；
如圖2，若CA平分
，求證：
．
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【題目】拋物線y＝x2+bx+c經過點A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC＝90°，請指出實數m的變化范圍，并說明理由．
（3）如圖2，將拋物線平移，使其頂點E與原點O重合，直線y＝kx+2（k＞0）與拋物線相交于點P、Q（點P在左邊），過點P作x軸平行線交拋物線于點H，當k發生改變時，請說明直線QH過定點，并求定點坐標．
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【題目】如圖，在直角坐標系中有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB、AC相交于點D，雙曲線y＝
（x＞0）經過點D，交BC的延長線于點E，且OBAC＝160，則點E的坐標為_____．
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【題目】為了估計某地區供暖期間空氣質量情況，某同學在20天里做了如下記錄：
其中ω＜50時空氣質量為優，50≤ω≤100時空氣質量為良，100＜ω≤150時空氣質量為輕度污染．若按供暖期125天計算，請你估計該地區在供暖期間空氣質量達到良以上（含良）的天數為（ ）
污染指數（ω） | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 |
天數（天） | 3 | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 |
A. 75B. 65C. 85D. 100
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【題目】已知：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側），根據對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規定：當△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”．
（1）①如圖2，求出拋物線
的“完美三角形”斜邊AB的長；
②拋物線
與的“完美三角形”的斜邊長的數量關系是 ；
（2）若拋物線
的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；
（3）若拋物線
的“完美三角形”斜邊長為n，且的最大值為-1，求m，n的值．
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【題目】已知關于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若該方程有兩個實數根，求m的最小整數值；
（2）若方程的兩個實數根為x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
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