Question

【題目】已知：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側），根據對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規定：當△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”．

（1）①如圖2，求出拋物線的“完美三角形”斜邊AB的長；

②拋物線與的“完美三角形”的斜邊長的數量關系是 ；

（2）若拋物線的“完美三角形”的斜邊長為4，求a的值；

（3）若拋物線的“完美三角形”斜邊長為n，且的最大值為-1，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）AB=2；相等；（2）a=±；（3），∴．

【解析】

試題（1）過點B作BN⊥x軸于N，由題意可知△AMB為等腰直角三角形，設出點B的坐標為（n，－n），根據二次函數得出n的值，然后得出AB的值；（2）根據拋物線的性質相同得出拋物線的完美三角形全等，從而得出點B的坐標，得出a的值；根據最大值得出mn－4m－1=0，根據拋物線的完美三角形的斜邊長為n得出點B的坐標，然后代入拋物線求出m和n的值.

試題解析：（1）①過點B作BN⊥x軸于N，由題意可知△AMB為等腰直角三角形，AB∥x軸，

易證MN=BN，設B點坐標為（n，-n），代入拋物線，得，

∴，（舍去），∴拋物線的“完美三角形”的斜邊

②相等；

（2）∵拋物線與拋物線的形狀相同，

∴拋物線與拋物線的“完美三角形”全等，

∵拋物線的“完美三角形”斜邊的長為4，∴拋物線的“完美三角形”斜邊的長為4，

∴B點坐標為（2，2）或（2，-2），∴．

（3）∵的最大值為-1，∴，

∴，∵拋物線的“完美三角形”斜邊長為n，

∴拋物線的“完美三角形”斜邊長為n，∴B點坐標為，

∴代入拋物線，得，∴（不合題意舍去），

∴，∴