Question

如圖，已知點C在⊙O上，延長直徑AB到點P，連接PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圓弧的中點，求MA的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于OA=OC，那么∠OAC=∠OCA，則∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，可求∠OCA=∠PCB，而AB是直徑，可知∠OCA+∠OCB=90°，從而有∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，從而可證CP是⊙O切線；
（2）連接BM，由于M是弧AB中點，那么AM=BM，而∠AMB=90°，易知∠MAB=∠MBA=45°，而AC=CP，則∠P=∠CAO，又∠BCP=∠CAO，從而有∠P=∠BCP，即BC=BP=3，而∠CBO=2∠P，∠BOC=2∠CAO，于是∠BOC=∠CBO，而OB=OC，那么可證△BOC是等邊三角形，從而有OB=BC=3，即AB=6，在Rt△AMB中，利用特殊三角函數值可求AM．
解答：解：（1）∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠COB=2∠OCA，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵點C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切線；

（2）連接BM．
∵M是⊙O下半圓弧中點，
∴弧AM=弧BM，
∴AM=BM，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠ABM=45°，
∵AC=PC，
∴∠OAC=∠P=∠OCA=∠PCB，
∴BC=BP，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=2∠PCB，
∵∠BOC=2∠CAO，
∴∠BOC=∠OBC=∠OCB，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OB=BC，
∵PB=3，
∴BC=3，
∴AB=6，
在Rt△ABM中，∠AMB=90°，AM=sin45°×AB=3．
點評：本題考查了圓周角定理、切線的判定、等邊三角形的判定和性質、特殊三角函數值的計算．解題的關鍵是連接BM，構造直角三角形AMB，并證△BOC是等邊三角形．