Question

2．如圖，已知點A、B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$ （x＞0）上，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點D，AC與BD交于點P，P是AC的中點．
（1）設A的橫坐標為m，試用m、k表示B的坐標．
（2）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．
（3）若△ABP的面積為3，求該雙曲線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據點P是AC的中點得到點A的橫坐標是m，結合反比例函數圖象上點的坐標特征來求點B的坐標；
（2）根據點P的坐標得到點P是BD的中點，所以由“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”得到四邊形ABCD是菱形；
（3）由△ABP的面積為3，知BP•AP=6．根據反比例函數 y=kx中k的幾何意義，知本題k=OC•AC，由反比例函數的性質，結合已知條件P是AC的中點，得出OC=BP，AC=2AP，進而求出k的值．

解答 解：（1）∵A的橫坐標為m，AC⊥x軸于C，P是AC的中點，
∴點B的橫坐標是2m．
又∵點B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$ （x＞0）上，
∴B（2m，$\frac{k}{2m}$）．

（2）連接AD、CD、BC；
∵AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點D，
∴AC⊥BD；
∵A（m，$\frac{k}{m}$），B（2m，$\frac{k}{2m}$），
∴P（m，$\frac{k}{2m}$），
∴PD=PB，
又AP=PC，
∴四邊形ABCD是菱形；

（3）∵△ABP的面積為 $\frac{1}{2}$•BP•AP=3，
∴BP•AP=6，
∵P是AC的中點，
∴A點的縱坐標是B點縱坐標的2倍，
又∵點A、B都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴B點的橫坐標是A點橫坐標的2倍，
∴OC=DP=BP，
∴k=OC•AC=BP•2AP=12．
∴該雙曲線的解析式是：y=$\frac{12}{x}$

點評 主要考查了反比例函數y=$\frac{k}{x}$中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．