Question

某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不超過45%，經試銷發現，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數y=kx+b，且x=65時，y=55；x=75時，y=45．
（1）若該商場獲利為w元，試寫出利潤w與銷售單價x之間的關系式，售價定為多少元時，商場可以獲利最大，最大利潤為多少元？
（2）若該商場獲利不低于500元，試確定銷售單價x的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先用待定系數法求出y與x之間的一次函數關系式，然后根據利潤=銷售量×（銷售單價-成本）得到W與x之間的函數關系式，再利用二次函數的性質，求出商場獲得的最大利潤以及獲得最大利潤時的售價．
（2）由w=500推出x²-180x+7700=0解出x的值即可．
解答：解：（1）將 ，代入y=kx+b中 ，
解得：，
∴y=-x+120，
∴W=（-x+120）（x-60），
W=-x²+180x-7200，
W=-（x-90）²+900，
又∵60≤x≤60×（1+45%），
即60≤x≤87，
則x=87時獲利最多，
將x=87代入，得W=-（87-90）²+900=891元；
答：售價定為87元時，商場可以獲利最大，最大利潤為891元；

（2）由W≥500，得500≤-x²+180x-7200，
整理得，x²-180x+7700≤0，
而方程x²-180x+7700=0的解為 x₁=70，x₂=110，
即x₁=70，x₂=110時利潤為500元，而函數y=-x²+180x-7200的開口向下，所以要使該商場獲得利潤不低于500元，銷售單價應在70元到110元之間，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，銷售單價x的范圍是70元/件≤x≤87元/件．
點評：本題考查的是二次函數的應用，先用待定系數法求出銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系，然后求出利潤W與x之間的二次函數，然后利用二次函數的性質以及題目中對銷售單價的要求，求出最大利潤和最大利潤時的單價．