Question

如圖所示，∠MBN=45°，若△ABC的頂點A在射線BM上，且AB=

2

，點C在射線BN上運動（C不與B重合），請你探究：
（1）若△ABC是直角三角形，試求線段BC的長，并將點C的位置標注在圖形中；

（2）探究：①當BC的值在什么范圍時，△ABC是銳角三角形；

②當BC的值在什么范圍時，△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

分析：①若△ABC是直角三角形，則有兩種情況：∠ACB=90°或∠BAC=90°．根據(jù)等腰直角三角形的性質進行計算BC的長；
②結合圖形，知要使△ABC是銳角三角形，則應介于①的兩種情況之間；
③結合圖形，知要使△ABC是鈍角三角形，則應小于①中求得的較小的BC或大于①中求得的較大的BC的長．

解答：解：①如圖所示，

當∠ACB=90°時，則BC=

2

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AB=1；
當∠BAC=90°時，則BC=

2

AB=2．
即BC=1或2時，△ABC是直角三角形；
②當1＜BC＜2時，△ABC是銳角三角形；
③當BC＜1或BC＞2時，△ABC是鈍角三角形．

點評：此題綜合運用了等腰直角三角形的性質，能夠結合圖形分析不同形狀的三角形的取值范圍．