Question

已知：k，m為實數，且k＜-1，關于x的方程x²+（2k+m）x+（k²+km）=0有兩個相等的實數根．拋物線y=2x²-（6m+4）x+2k+2與直線y=kx的交點分別為A點，B點，與y軸的交點為C，頂點為D．
（1）求m的值；
（2）求D點的坐標；
（3）若S_△ABD=2S_△ABC，求k的值．

Answer 1

分析：（1）一元二次方程有兩個相等實數根時，根的判別式等于0，據此求解．
（2）將（1）得到的m值代入拋物線的解析式中，進行配方后能得到頂點D的坐標．
（3）首先畫出對應的圖形，若S_△ABD=2S_△ABC，那么對于兩個同底不等高的三角形來說，它們的高的比等于1：2，過C、D作直線AB的垂線，通過構建相似三角形求出DE的長，由此求得k的值．

解答：解：（1）∵關于x的方程x²+（2k+m）x+（k²+km）=0有兩個相等的實數根，
∴△=（2k+m）²-4（k²+km）=m²=0．
∴m=0．

（2）當m=0時，拋物線的解析式為y=2x²-4x+2k+2．
它的對稱軸為直線x=1，頂點D的坐標為D（1，2k）．

（3）∵k＜-1，
∴2k+2＜0，點C（0，2k+2）在y軸的負半軸上．
設拋物線的對稱軸與直線AB的交點為E點，
則E點的坐標為E（1，k）．
作CG⊥AB于G點，DH⊥AB于H點．（如圖）
∵S_△ABD=2S_△ABC，
∴DH=2CG．
∵拋物線的對稱軸與y軸平行，
∴∠COG=∠DEH．
∴sin∠COG=sin∠DEH．
可得  DE=2CO．
∴-k=-2（2k+2）．
解得 k=-

4

3

．

點評：該題主要考查了二次函數解析式的確定、根與系數的關系、圖形面積的求法等知識；難點在于（3）題，將三角形的面積比轉化高的比是打開思路的關鍵．