Question

化簡求值
（1）先化簡(1-

1

x-1

)÷

x2-4x+4

x2-1

，然后從-2≤x≤2的范圍內選取一個合適的整數作為x的值代入求值．
（2）若a1=1-

1

m

，a2=1-

1

a1

，a3=1-

1

a2

，…；求a₂₀₁₁的值．（用含m的代數式表示）

Answer 1

分析：（1）先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再在x的取值范圍內找出符合條件的x的值代入進行計算即可；
（2）先根據題意找出規律，由此規律即可得出結論．

解答：解：（1）原式=

x-2

x-1

•

(x+1)(x-1)

(x-2)2

=

x+1

x-2

．
∵x滿足-2≤x≤2且為整數，
∴若使分式有意義，x只能取0，-2．
當x=0時，原式=-

1

2

．（或：當x=-2時，原式=

1

4

）．


（2）解：∵a₁=1-

1

m

=

m-1

m

；
a₂=1-

1

a1

=1-

1

m-1 m

=1-

m

m-1

=

m-1

m-1

-

m

m-1

=-

1

m-1

；
a₃=1-

1

a2

=1-

1

- 1 m-1

=1+m-1=m；
a₄=1-

1

a3

=1-

1

m

=

m

m

-

1

m

=

m-1

m

；
a₅=1-

1

a4

=1-

1

m-1 m

=1-

m

m-1

=

m-1

m-1

-

m

m-1

=-

1

m-1

；
…
∴3個一循環，
又∵2011÷3=670…1，
∴a₂₀₁₁與a₁的值相同．
∴a₂₀₁₁=1-

1

m

=

m-1

m

．

點評：本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．