Question

3．某種商品的成本為每件20元，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量m（件）與x（天）的關系如表．

時間x（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未來40天內(nèi)，前20天每天的價格y₁（元/件）與時間x（天）的函數(shù)關系式為y₁=$\frac{1}{4}$x+25（1≤x≤20且x為整數(shù)），后20天每天的價格y₂（元/件）與時間x（天）的函數(shù)關系式為y₂=-$\frac{1}{2}$+40（21≤x≤40且x為整數(shù)）．
（1）求日銷售量m（件）與時間x（天）之間的關系式．
（2）請預測本地市場在未來40天中哪一天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？
（3）在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐款a（a≤5）元利潤給希望工程，公司看過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中每天扣除捐款后的日銷售利潤隨時間x（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）分1≤x≤20和21≤x≤40兩種情況，根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，結合二次函數(shù)的性質可得；
（3）根據(jù)前20天的售價由“總利潤=單件利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點式結合二次函數(shù)的性質和a≤5可得答案．

解答 解：（1）通過圖表可知m與x之間的關系式為一次函數(shù)
設一次函數(shù)為m=kx+b，把（1.94）和（3.90）代入，解得k=-2，b=96
∴m=-2x+96；

（2）設銷售利潤為W，
當1≤x≤20時，W=$（-2x+96）（\frac{1}{4}x+25-20）$
=$-\frac{1}{2}{（x-14）^2}+578$
當x=14W有最大值578
當21≤x≤40時   W=$（-2x+96）（-\frac{1}{2}x+40-20）$
=（x-44）²-16
∵當x＜44時，W隨x增大而減小，
∴x=21時，W_最大=513，
∴未來40天中第14天日銷售利潤最大，最大利潤578元；

（3）由題意   W=$（-2x+96）（\frac{1}{4}x+25-20-a）$
=$-\frac{1}{2}{[x-2（a+7）]^2}+2{（a-17）^2}$
二次函數(shù)開口向下，對稱軸是x=2（a+7），
要使日銷售利潤隨時間x的增大而增大，
必須2（a+7）≥20，
∴a≥3，
又a≤5，
∴3≤a≤5．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應用，理解題意找到題目蘊含的相等關系列出函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．