Question

【題目】如圖，正方形CGEF的對角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），M是線段AE的中點，DM的延長線交CE于N．

（1）求證：AD=NE

（2）求證：①DM=MF；②DM⊥MF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題

（1）由已知條件證：△ADM≌△ENM可得AD=NE；

（2）連接FD、FN，結合（1）中所得結論和已知條件可證△CDF≌△ENF，從而可得：FD=FN，∠3=∠4，由此可得：∠3+∠CFN=∠4+∠CFN=∠CFE=90°，這樣可證得：△DFN是等腰直角三角形；再由△ADM≌△ENM可得DM=NM，就可得到：FM是等腰直角△DFN斜邊上的中線，就可得到；DM=MF，DM⊥MF.

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD，

∴∠MAD=∠MEN，

又∵M是AE的中點，

∴AM=EM

在△ADM和△ENM中，，

∴△ADM≌△ENM（ASA），

∴AD=EN；

（2）連接FD、FN，

∵CE是正方形CGEF的對角線，

∴CF=EF，∠1=∠FEN=45°，

又∵∠BCD=90°，

∴∠DCE=90°，

∴∠2=∠1=∠FEN=45°，

在△CDF和△ENF中，，

∴△CDF≌△ENF（SAS）

∴∠3=∠4，DF=FN，

又∵∠CFN+∠4=90°，

∴∠CFN+∠3=90°，

∴△DFN是等腰直角三角形，

∵△ADM≌△ENM，

∴DM=NM，

∴FM=DM，FM⊥DM．