Question

【題目】如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠BAC=∠APC=60°，

（1）求證：△ABC是等邊三角形；

（2）求圓心O到BC的距離OD．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）4

【解析】解：（1）證明：∵∠APC和∠ABC是同弧所對(duì)的圓周角，∴∠APC=∠ABC。

又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°。

∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°。

∴△ABC是等邊三角形。

（2）連接OB，

∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓，

∴O為△ABC的外心。

∴BO平分∠ABC。∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4。

（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都等于600，從而得證。

（2）根據(jù)等邊三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，得含30度角直角三角形OBD，從而根據(jù)30度角所對(duì)邊是斜邊一半的性質(zhì)，得OD=8×=4