Question

如圖所示，AB是半圓O的直徑，AB=8，以AB為一直角邊的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC與半圓交于點D，過點D作BC的垂線DE，垂足為E．
（1）求DE的長；
（2）過點C作AB的平行線l，l與BD的延長線交于點F，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由圓周角定理得出∠ADB=90°，再解Rt△ABD，得出BD=4，然后解Rt△BDE，即可求出DE的長；
（2）先由DE⊥BC，AB⊥BC，得出DE∥AB，根據平行線分線段成比例定理得出=，則DA=3CD，再證明△FCD∽△BAD，根據相似三角形對應邊成比例即可求出的值．
解答：解：（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，AB=8，
∴BD=AB=4．
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=30°，BD=4，
∴DE=BD=2；

（2）∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴DE∥AB，
∴===，
∴CA=4CD，
∴DA=3CD．
∵CF∥AB，
∴∠FCD=∠BAD，∠DFC=∠DBA，
∴△FCD∽△BAD，
∴===．
點評：本題考查了圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定與性質，難度適中，求出DE的長，進而得到DA=3CD是解題的關鍵．