Question

如圖所示，AB是半圓的直徑，∠C的兩邊分別與半圓相切于A，D兩點，DE⊥AB，垂足為E，AE=3，BE=1，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A、4

  3

  -4π
• B、

  9

  2

  3

  -

  4

  3

  π
• C、

  9

  2

  3

  -4π
• D、4

  3

  -

  4

  3

  π

Answer 1

分析：本題可設半圓的圓心為O，連接OD，則陰影部分的面積可用梯形ACDE和扇形AOD、△ODE的面積差來求得．已知了AE、BE的長，即可得知圓的直徑和半徑長．在Rt△ODE中，可根據OD和OE的長，求得∠DOE的度數，即可求得扇形AOD的圓心角，由此可求得△ODE和扇形AOD的面積．下面再求梯形ACDE的面積．關鍵是求出梯形的下底AC的長，連接AD，不難得出△ACD是個等邊三角形，那么可在△ADE中求得AD的長，即可得出AC的長．由此可求出梯形的面積．根據上面分析的陰影部分面積的計算方法即可得出所求的值．

解答：解：設圓的圓心是O，連接OD，OB．根據題意，得：圓的直徑是4，則圓的半徑是2．
∴OE=BE=1．
在Rt△ODE中，OD=2，OE=1，則∠DOE=60°，DE=

3

；
∴△OBD是等邊三角形，∠AOD=120°．
連接AD，則∠ADB=90°．
∴∠DAB=30°，
∴∠DAC=60°；又AC=CD，
∴△ACD是等邊三角形．
∴AC=AD=2

3

．
則S_梯形ACDE=

9

2

3

，S_扇形AOD=

120π×4

360

=

4π

3

，S_△ODE=

3

2

；
所以陰影部分的面積是

9

2

3

-

3

2

-

4π

3

=4

3

-

4π

3

．
故選D．

點評：此題主要是能夠發現等邊三角形和30°的直角三角形，熟悉直角梯形、扇形和直角三角形的面積公式．