Question

2．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，B、C、D三點在一條直線上，AD與BE相交于點P，AC、BE相交于點M，AD、CE相交于點N，則下列五個結論：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④CP平分∠MCN；⑤△CMN是等邊三角形．其中，一定正確的有（　�。�

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 ①根據等邊三角形的性質得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，則∠ACE=60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根據“ASA”判斷△ACN≌△BCM，得出∠BMC=∠ANC即可；
③由全等三角形的性質和三角形內角和定理即可得出∠APM=60°；④錯誤；
⑤由等邊三角形的判定得出△CMN是等邊三角形．

解答 解：①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；①正確；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{ACN=∠BCM}&{\;}\\{CA=CB}&{\;}\\{∠CAN=∠CBM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴∠BMC=∠ANC，②正確；
∵∠CAD=∠CBE，∠AMO=∠BMC，
由三角形內角和定理得：∠APM=∠ACB=60°，③正確；
⑤∵△ACN≌△BCM，
∴CN=CM
而∠MCN=60°，
∴△CMN是等邊三角形；⑤正確；
∵∠APB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、P四點共圓，
∴∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠CPD=120°-60°=60°，
∴CP平分∠MPN，沒有條件得出CP平分∠MCN，④錯誤；
正確的有4個，
故選：C．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質；熟練掌握等邊三角形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．