Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，過點B作⊙O的切線，C是切線上一點，且BC＝2，P是線段OA上一動點，連結PC交⊙O于點D，過點P作PC的垂線，交切線BC于點E，交⊙O于點F，連結DF交AB于點G．

（1）當P是OA的中點時，求PE的長；
（2）若∠PDF＝∠E，求△PDF的面積．

Answer 1

（1）；（2）2或.

試題分析：（1）當P是OA的中點時，根據切線的性質，可證得△CBP∽△PBE，從而得到，在Rt△PBE中，由勾股定理可求得PE的長；（2）分弦DF不是直徑和弦DF恰為直徑兩種情況討論即可.
試題解析：（1）當P是OA的中點時，PB＝3.
∵CE是⊙O的切線，∴AB⊥CE.
又∵CP⊥PE，∠CPB＝∠E，∴△CBP∽△PBE.
∴，∴.
∴在Rt△PBE中，.
（2）在Rt△PDG中，由∠PDF＝∠E＝∠CPB，可知∠GPF＝∠GFP，
∴GD＝GP＝GF.
直徑AB平分弦DF，有兩種可能.：
①弦DF不是直徑，如圖①，則AB⊥DF，于是PD＝PF，∠GPD＝∠GDP＝45º.
∴BP＝BC＝2＝BO，點P與點O重合.∴S_△PDF＝×2×2＝2.
②弦DF恰為直徑，如圖②，則點P即為點A.而BC＝2，BP＝DF＝4，∴BE＝8，CE＝10.
∴S_△PCE＝×10×4＝20，∴由△PCE∽△PFD得,S_△PDF＝.