Question

已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P．設⊙O的半徑為r．
（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OE•OP=；

（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）成立， 理由見解析.

試題分析：（1）要證等積式，需要將其化為比例式，再利用相似證明. 觀察圖形，此題顯然要連半徑OF，構造OE、OP所在的三角形， 這樣問題便轉化為證明△FOE∽△POF. 而要證明△FOE∽△POF，由于已經存在一個公共角，因此只需再證明另一角對應相等即可，這一點利用圓周角定理及其推論可獲證.（2）同（1）類似.
試題解析：（1）連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ.
∵FQ是⊙O直徑，∴∠FDQ＝90°. ∴∠QFD＋∠Q＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.
∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.
∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF. ∴. ∴OE·OP＝OF²＝r².

（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，（1）中的結論成立. 理由如下：
依題意畫出圖形（如圖），連接FO并延長交⊙O于M，連接CM.
∵FM是⊙O直徑，∴∠FCM＝90°. ∴∠M＋∠CFM＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.
∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.
∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE. ∴. ∴OE·OP＝OF²＝r².