Question

如圖13，14,已知四邊形ABCD為正方形,在射線AC上有一動點P，作PE⊥AD(或延長線)于E，作PF⊥DC(或延長線)于F，作射線BP交EF于G.

（1）在圖13中,設正方形ABCD的邊長為2, 四邊形ABFE的面積為y, AP=，求y關于的函數表達式．

（2）結論GB⊥EF對圖13，圖14都是成立的，請任選一圖形給出證明；

（3）請根據圖14證明：△FGC∽△PFB．

              圖13                                    圖14

Answer 1

解：（1）∵EPAD，PFDC，∴四邊形EPFD是矩形，

∵AP=，

∴AE=EP=DF=，

，                                

∴ 

        

                                 

（2）在圖13中證明GB⊥EF．

①證法一：延長FP交AB于H，

∵PF⊥DC，PE⊥AD，∴PF⊥PE，PH⊥HB,

即∠BHP=90°     

∴在Rt△FPE與Rt△BHP中

因 ABCD是正方形，

∴易知PF=FC=HB，EP=PH

∴Rt△FPE≌Rt△BHP

∴∠PFE=∠PBH，

又∠FPG=∠BPH，

∴△FPG∽ △BPH，

∴∠FGP=∠BHP=90°，即GB⊥EF              

分析: 要GB⊥EF,只要∠5 +∠3=90°,而∠5 +∠4=90°,只要證∠3=∠4,

而∠2 =∠3, ,只要證∠4=∠2,而∠4=∠1,故只要∠1=∠2.

證法二: 如答案圖13-2,連接PD,延長FP交AB于H，

延長EP交BC于M，

易知DC=BC, ∠DCP=∠BCP=45°,PC=PC,

∴△DPC≌△BPC

∴∠DPC=∠BPC,即∠1+45°=45°+∠2,

∴∠1=∠2,

而∠1=∠4, ∠2 =∠3,

∴∠3=∠4,

而∠5 +∠4=90°,∴∠5 +∠3=90°,

∴∠PGE=180°-(∠5 +∠3)=90°,

即GB⊥EF.

注:在圖14中證法與上面類似.

（3）證法一：

∵GB⊥EF，∴…①…

連接PD，在△DPC和△BPC中

∵DC=BC, ∠DCP=∠BCP=135°,PC=PC,

∴ △DPC≌△BPC，∴PD=PB．                 

而PD=EF, ∴EF=PB．                                                             

又∵GB⊥EF，∴

∴

而PF=FC, ∴                 

∴………②

∴由①②得△FGC∽△PFB．                                      

證法二:

∵GB⊥EF，∴………①                       

又∵

取BF的中點M,則有:

∴B,C,G,F四點在以M為圓心,MB為半徑的圓上.       

∴………②

∴由①②得△FGC∽△PFB．