Question

8．如圖，ABCD為正方形，E是BC邊上一點，將正方形折疊，使A點與E點重合，折痕為MN．如果tan∠AEN=$\frac{1}{3}$，DC+CE=10，那么△ANE的面積為$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 由翻折變換的性質得出∠AEN=∠EAN，然后先由tan∠AEN=$\frac{1}{3}$，可得出BE=$\frac{1}{3}$AB，然后DC+CE=10可知BE=2，從而得到AB=6，然后再Rt△ABE中，由勾股定理可求得BN的長，最后依據三角形的面積公式求解即可．

解答 解：由翻折的性質可知：∠AEN=∠EAN．
∵tan∠AEN=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠BAE=$\frac{1}{3}$．
∴AB=3BE．
∵EC+CD=10，
∴6BE-BE=10．
解得：BE=2．
∴AB=6．
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}×2×6$=6．
設AN=EN=x，則BN=6-x．
在Rt△NBE中，由勾股定理可知：BE²+BN²=NE²，即（6-x）²=x²+2²．
解得：x=$\frac{8}{3}$．
∴BN=$\frac{8}{3}$．
∴${S}_{△BNE}=\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}$=$\frac{8}{3}$．
∴S_△ANE=S_△ABE-S_△BNE=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、勾股定理的應用、三角形的面積公式，依據勾股定理列出關于x的方程是解題的關鍵．