Question

如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，P為BC的中點．動點Q從點P出發，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為t s．
（1）試說明圓心O的位置．
（2）當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由；
（3）若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形的性質以及圓周角定理得出圓心O的位置為線段AB的中點；
（2）首先根據勾股定理得出AB的長，再利用△PBD∽△ABC，得出，求出PD的長；即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，得出答案即可；
（3）根據點P在⊙O內部，得出⊙P與⊙O只能內切，進而利用半徑與圓心距之間的關系求出即可．
解答：解：（1）如圖1，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB是△ABC外接圓直徑，
∴圓心O的位置為線段AB的中點．

（2）直線AB與⊙P相切．
如圖2，過點P作PD⊥AB，垂足為D．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∵AC=6cm，BC=8cm 
∴AB==10（cm），
∵P為BC的中點
∴PB=4cm．
∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC
∴△PBD∽△ABC．
∴，即
∴PD=2.4（cm）．
當t=1.2時，PQ=2t=2.4（cm）
∴PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑．
∴直線AB與⊙P相切．

（3）∵∠ACB=90°，
∴AB為△ABC的外切圓的直徑．
∴OB=AB=5（cm）．
如圖3，連接OP，
∵P為BC的中點，O為BA的中點，
∴OP=AC=3（cm）．
∵點P在⊙O內部，
∴⊙P與⊙O只能內切．
∴5-2t=3或2t-5=3，
∴t=1或4．
∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4．
點評：此題主要考查了相切兩圓的性質以及切線的判定和圓周角定理等知識，利用圖形分類討論得出是解題關鍵．