Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點B，過A作AD∥OC交⊙O于點D，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=2，直徑AB=6，求線段BC的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，要證明CD為圓O的切線，只要證明∠CDB=90°即可；
（2）連接BD，根據已知求得△ADB∽△OBC再根據相似比即可求得BC的值．

解答：（1）證明：連接OD，如圖所示：
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD．
∵AD∥CO，
∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD．
∴∠COD=∠COB．
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC．
∴∠ODC=∠OBC．
∵CB是圓O的切線且OB為半徑，
∴∠CBO=90°．
∴∠CDO=90°．
∴OD⊥CD．
又∵CD經過半徑OD的外端點D，
∴CD為圓O的切線．

（2）解：連接BD，CO，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
在直角△ADB中，BD=

AB2-AD2

=

62-22

=4

2

，
∵∠ADB=∠OBC=90°，且∠COB=∠BAD，
∴△ADB∽△OBC．（8分）
∴

AD

OB

=

DB

BC

，即

2

3

=

4 2

BC

．
∴BC=6

2

．

點評：本題利用了等邊對等角，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，切線的判定和性質，直徑對的圓周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定和性質求解．