Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求證：OF∥BC；
（2）求證：△AFO≌△CEB；
（3）若EB=5cm，CD=10

3

cm，設(shè)OE=x，求x值及陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及垂直于同一直線的兩直線平行即可證得；
（2）根據(jù)垂徑定理以及等弧所對的圓周角相等，即可證得：△AFO和△CEB的兩個角相等，從而證得兩個三角形相似；
（3）根據(jù)勾股定理求得x的值，然后根據(jù)陰影部分的面積=扇形COD的面積-△COD的面積即可求解．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴AC⊥BC
又∵OF⊥AC
∴OF∥BC

（2）證明：∵AB⊥CD
∴

BC

=

BD

∴∠CAB=∠BCD
又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，
∴△AFO≌△CEB

（3）解：連接DO．設(shè)OE=x，
∵AB⊥CD
∴CE=

1

2

CD=5

3

cm．
在直角△OCE中，OC=OB=x+5（cm），
根據(jù)勾股定理可得：（x+5）²=（5

3

）²+x²
解得：x=5，即OE=5，
∴tan∠COE=

CE

OE

=

5 3

5

=

3

，
∴∠COE=60°
∴∠COD=120°，
∴扇形COD的面積是：

120π×102

360

=

100π

3

cm²
△COD的面積是：

1

2

CD•OE=

1

2

×10

3

×5=25

3

cm²
∴陰影部分的面積是：（

100π

3

-25

3

）cm²．

點(diǎn)評：本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，以及扇形的面積的計(jì)算，正確求得∠COE的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．