Question

8．如圖，Rt△A'BC'是由Rt△ABC繞B點順時針旋轉而得，且點A，B，C'在同一條直線上，在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=2，AB=4，則Rt△ABC旋轉到Rt△A'BC'所掃過的面積為$\frac{16}{3}$π+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理計算出AC=2$\sqrt{3}$，再利用三角函數得到∠ABC=60°，接著根據旋轉的性質得到∠A′B′C′=∠ABC=60°，△ABC≌△A′B′C′，所以∠ABA′=120°，
然后根據扇形面積公式，利用Rt△ABC旋轉到Rt△A'BC'所掃過的面積=S_扇形ABA′+S_{△A′B′C′}進行計算即可．

解答 解：∵∠C=90°，BC=2，AB=4，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=60°，
∵Rt△A'BC'是由Rt△ABC繞B點順時針旋轉而得，且點A，B，C'在同一條直線上，
∴∠A′B′C′=∠ABC=60°，△ABC≌△A′B′C′，
∴∠ABA′=120°，
∴Rt△ABC旋轉到Rt△A'BC'所掃過的面積=S_扇形ABA′+S_{△A′B′C′}
=$\frac{120•π•{4}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$
=$\frac{16}{3}$π+2$\sqrt{3}$．
故答案為$\frac{16}{3}$π+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．