Question

19．如圖，有一塊矩形鋼板ABCD，先截去了一個直角三角形AEF，得到一個五邊形EBCDF，已知AB=200cm，BC=160cm，AE=60cm，AF=40cm，要從這塊鋼板上再截出一塊矩形板料，如何設計才能使矩形板料的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 在EF上取一點P，過點P作QR∥AD，過點P作PO∥AB，設PO=xcm，矩形POCR的面積為ycm²，利用△PQE∽△FAE求得PQ=$\frac{2}{3}$（x-140），繼而知RP=160-$\frac{2}{3}$（x-140）=$\frac{2}{3}$（380-x），根據矩形面積公式轉化為二次函數的問題確定函數的最大值即可解決問題．

解答 解：如圖，在EF上取一點P，過點P作QR∥AD，過點P作PO∥AB，

設PO=xcm，矩形POCR的面積為ycm²，
由題意知△PQE∽△FAE，
∴$\frac{PQ}{FA}$=$\frac{QE}{AE}$，即$\frac{PQ}{40}$=$\frac{x-（200-60）}{60}$，
∴PQ=$\frac{2}{3}$（x-140），
∴RP=160-$\frac{2}{3}$（x-140）=$\frac{2}{3}$（380-x），
∴y=x[$\frac{2}{3}$（380-x）]=-$\frac{2}{3}$（x-190）²+$\frac{72200}{3}$，（140≤x≤200），
∴當x=190時，最大面積為$\frac{72200}{3}$cm²，
答：在EF上取一點P，使其到BC的距離為190cm，沿點P且平行于矩形的兩邊截取矩形面積最大，最大面積為$\frac{72200}{3}$cm²．

點評 本題主要考查了二次函數的應用，根據實際問題選擇合適的函數模型來解決實際問題，理解函數的最值及其幾何意義是解題的關鍵．