Question

如果二次函數y=ax2+bx+c的圖象的頂點坐標是（2，4），且直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點，PQ：QR=1：3，則這個二次函數解析式為 .

Answer 1

y=x2﹣4x+8或y=﹣x2+x+．

【解析】

試題分析：根據二次函數y=ax2+bx+c的圖象的頂點坐標是（2，4），利用頂點法設該二次函數解析式為y=a（x﹣2）2+4．根據直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點，則可確定P點的坐標，并設Q、R點的坐標為（x1，y1）和（x2，y2）．根據兩點間的距離公式與PQ：QR=1：3求得|x2|與|x1|的比值．直線y=x+4與拋物線相交于Q、R兩點列出方程a（x﹣2）2+4=x+4，利用一元二次方程根與系數的關系，可求出x1、x2、a的值．因此拋物線即可確定．

試題解析：∵圖象的頂點坐標是（2，4），

∴所以二次函數解析式為y=a（x﹣2）2+4 ①，

∵直線y=x+4依次與y軸和拋物線相交于P、Q、R三點，

∴P點的坐標是（0，4），設Q、R點的坐標為（x1，y1）和（x2，y2），則y1=x1+4，y2=x2+4，

∵|PQ|=，

|PR|=，

∵PQ：QR=1：3且P在QR之處，

∴PQ：PR=PQ：（PQ+QR）=1：4， |x1|： |x2|=1：4，

∴|x2|=4|x1|②，

又x1，x2是拋物線與直線交點的橫坐標，

∴a（x﹣2）2+4=x+4，即ax2﹣（4a+1）x+4a=0，

∴a（x2﹣x+4）=0，

由韋達定理，，

由③得，x1、x2同號，再由②得 x2=4x1，

∴x1=±1，x2=±4，從④得a=1，或a=﹣

∴y=x2﹣4x+8或y=﹣x2+x+，

考點：二次函數綜合題．