Question

（10分）在平面直角坐標系中，如圖所示，△ABC是邊長為2的等邊三角形，將△ABC繞著點B按順時針方向旋轉得到△EDB，使得點E落在軸的正半軸上，連結CE、AD、

（1）求證：AD=CE；

（2）求AD的長；

（3）求過C、E兩點的直線的解析式.

Answer 1

（1）見解析；（2）AD=2；（3）

【解析】

試題分析：（1）根據旋轉圖形可得：AB=BC，BD=BE，∠ABD=∠CBE=120°得出△ABD和△CBE全等，得出所求的結論；（2）作DF⊥AE交x軸于點F，則F為BE的中點，根據Rt△BDF的勾股定理求出DF的長度，根據Rt△ADF的勾股定理求出AD的長度；（3）作CG⊥AB交 軸于點G，則G為AB的中點，求出AG和CG的長度得出點C的坐標，根據AE=BB+BE求出點E的坐標，然后利用待定系數法求出函數解析式.

試題解析：（1）∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AC=AB=BC=2,∠ACB=∠CBA=∠BAC=60°

又△DBE是由△ABC繞著點B按順時針方向旋轉得到的，∴△DBE也是邊長為2的等邊三角形，

∴∠DBC=180°-60°-60°=60°，AB=BC，BD=BE又∠ABD =∠CBE=120°

∴△ABD≌△CBE（SAS） ∴AD=CE（全等三角形的對應邊相等）

（2）作DF⊥AE交x軸于點F，則F為BE的中點，∴BF=1

在Rt△BDF中，BD=2,BF=1,由勾股定理得：DF2=BD2-BF2=4-1=3，∴DF=

在Rt△ADF中，AF=AB+BF=2+1=3, 由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+3=12， ∴

（3）作CG⊥AB交 軸于點G，則G為AB的中點，∴AG=1，CG=DF=

∴C點的坐標是（1, ）,又AE=AB+BE=2+2=4， 故E點的坐標是（4,0）

設過C、E兩點的直線的解析式為y=kx+b，將C,E點的坐標代入解得,

∴過C、E兩點的直線的解析式為

考點：三角形全等的判定與應用、待定系數法求函數解析式.